Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

Version vom 24. April 2013, 01:51 Uhr

IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES

This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:

This revision was by author xenwolf and made on 2013-04-24 01:51:14 UTC.

The original revision id was 425921782.

The revision comment was: Versuch mit einfacheren Worten zu beginnen, Beispiel ergänzt

The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.

Original Wikitext content:

English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].

Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.

Original HTML content:

<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.<br />
<br />
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.<br />
<br />
Ein Beispiel:<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&lt;br/&gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&lt;br/&gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &quot;<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>&quot; verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a>.<br />
<br />
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.</body></html>

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
 This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-24 01:38:35 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-24 01:51:14 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>425920506</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>425921782</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt>Monzo wird aus meiner Sicht eher oft verwendet</tt><br>
+: The revision comment was: <tt>Versuch mit einfacheren Worten zu beginnen, Beispiel ergänzt</tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.
-Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von [[Primzahlen|Primzahlpotenzen]]:
+Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:
 [[math]]
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 [[math]]
-wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.
+wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.
+Ein Beispiel:
+[[math]]
+\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
+[[math]]
 Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
@@ Zeile 26: / Zeile 31: @@
 Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).
-Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
+Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
 Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].
@@ Zeile 36: / Zeile 41: @@
 Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&gt;reiner Stimmung&lt;/a&gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlpotenzen&lt;/a&gt;:&lt;br /&gt;
+Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
@@ Zeile 43: / Zeile 48: @@
   --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.&lt;br /&gt;
+wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.&lt;br /&gt;
+&lt;br /&gt;
+Ein Beispiel:&lt;br /&gt;
+&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
+[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
+\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
+ --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&gt;ket vector&lt;/a&gt;-Notation:&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
+&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
 [[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
 |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
-  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
+  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Im &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&gt;englischen Xenharmonic Wiki&lt;/a&gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;quot;&lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&gt;Monzo&lt;/a&gt;&amp;quot; verwendet (benannt nach &lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&gt;Joe Monzo&lt;/a&gt;).&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&gt; Z-Modul&lt;/a&gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&gt;Eulermodul&lt;/a&gt; bezeichnet.&lt;br /&gt;
+Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&gt; Z-Modul&lt;/a&gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&gt;Eulermodul&lt;/a&gt; bezeichnet.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&gt;Vogelsche Tonnetz&lt;/a&gt;.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&gt;Eulersche Tonnetz&lt;/a&gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>

Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. April 2013, 01:51 Uhr

IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES

Original Wikitext content:

Original HTML content:

Navigationsmenü

Suche