Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben. | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><span style="display: block; text-align: right;">English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]] | ||
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Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben. | |||
Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können). | Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können). | ||
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Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave. | Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave. | ||
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. | Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</pre></div> | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body>Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.<br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;">English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br /> | ||
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Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.<br /> | |||
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Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br /> | Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br /> | ||
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Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br /> | Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br /> | ||
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Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. | Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</body></html></pre></div> | ||
Version vom 12. Mai 2016, 04:49 Uhr
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Original Wikitext content:
<span style="display: block; text-align: right;">English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]] </span> Als **Intervallraum** bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben. Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können). Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet. Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert. Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave. Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.
Original HTML content:
<html><head><title>Intervallraum</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;">English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br /> </span><br /> Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.<br /> <br /> Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br /> <br /> Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-<a class="wiki_link" href="/Limit">Limit</a>". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br /> <br /> Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br /> <br /> Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br /> <br /> Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</body></html>