Verallgemeinerte reguläre Temperatur

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English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]

[[Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]

Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie"

Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [[http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf|Tuning continua and keyboard layouts]], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.

[[toc|flat]]
----
=Charakterisierung über Kommas= 
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also

[[math]]
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1>

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet.

Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).

Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

=Charakterisierung über "vals"= 

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

<log2(2), log2(3), log2(5),...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

[Todo Beispiel ]

=Charakterisierung über "Wedgie"= 
[Todo]

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen= 
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.

[Todo Beispiele]

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

=Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen= 
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur.

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

=Nichtoktavische Temperaturen= 
[to do]

Original HTML content:

<html><head><title>Verallgemeinerte reguläre Temperatur</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank">abstract regular temperament</a><br />
<br />
<a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen">Einführungsartikel reguläre Temperaturen</a><br />
<br />
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen">reinen Stimmung</a> auf eine &quot;abstrakte&quot; reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.<br />
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:<br />
<ul><li>über eine normierte &quot;val&quot;-Liste</li><li>über eine normierte <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma">Komma</a>-Liste</li><li>über einen &quot;wedgie&quot;</li></ul><br />
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):<br />
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: <a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow">Tuning continua and keyboard layouts</a>, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextTocRule:13:&lt;img id=&quot;wikitext@@toc@@flat&quot; class=&quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&quot; title=&quot;Table of Contents&quot; src=&quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;h=16&quot;/&gt; --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --><a href="#Charakterisierung über Kommas">Charakterisierung über Kommas</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;vals&quot;">Charakterisierung über &quot;vals&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;">Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --> | <a href="#Höherdimensionale Temperaturen">Höherdimensionale Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --> | <a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen">Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --> | <a href="#Nichtoktavische Temperaturen">Nichtoktavische Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: -->
<!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --><hr />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Charakterisierung über Kommas"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 -->Charakterisierung über Kommas</h1>
 Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br />
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1&gt;<br />
<br />
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow">Äquivalenzklassen</a> zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow">Quotientenmoduls</a>: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&gt; generierten Submodul betrachtet.<br />
<br />
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank">abstract regular temperament</a>. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/3-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/4-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig">1/6-</a> oder <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig">2/7-</a>Komma mitteltönigen Stimmung, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung">Lucy-Stimmung</a> etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch">pythagoräische</a> Stimmung (reine Quinten) sowie <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth">superpythagoräische</a> Systeme (erhöhte Quinten).<br />
<br />
Jede <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow">Basis</a> des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0&gt;, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)<br />
<br />
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Charakterisierung über &quot;vals&quot;"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Charakterisierung über &quot;vals&quot;</h1>
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<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists">Englischsprachiger Artikel</a><br />
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Als &quot;Val&quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des <a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow">dualen Vektorraums</a> zum Intervallraum.<br />
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">Bra-Ket</a> notiert (siehe auch <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents">Umrechnung von Intervallvektoren in Cents</a>)<br />
<br />
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:<br />
<br />
&lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|<br />
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Dieser Val beschreibt die untemperierte, &quot;reine&quot; Stimmung.<br />
<br />
Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.<br />
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Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im <a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow">Kern</a> der Val-Abbildung.<br />
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[Todo Beispiel ]<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc2"><a name="Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</h1>
 [Todo]<br />
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<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a><br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --><!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:21:&lt;img src=&quot;/i/anchor.gif&quot; class=&quot;WikiAnchor&quot; alt=&quot;Anchor&quot; id=&quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&quot; title=&quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&quot;/&gt; --><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:21 -->Höherdimensionale Temperaturen</h1>
 Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br />
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[Todo Beispiele]<br />
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS</a>-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc4"><a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</h1>
 Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufige</a> Temperatur.<br />
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Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das <a class="wiki_link" href="/531441_524288">pythagoräische Komma</a> austemperiert, erhält man das bekannte <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a>.<br />
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Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc5"><a name="Nichtoktavische Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Nichtoktavische Temperaturen</h1>
 [to do]</body></html>