Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1> . Für den Val <x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten: | Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1> . Für den Val <x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten: | ||
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<x1, x2, x3 ||-4, 4, -1> = 0 | <x1, x2, x3 ||-4, 4, -1> = 0 | ||
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-4*x1 +4*x2 -x3 = 0 | -4*x1 +4*x2 -x3 = 0 | ||
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Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also | Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also | ||
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<x1, x2, x3 ||1, 0, 0> = log2(2) = 1 | <x1, x2, x3 ||1, 0, 0> = log2(2) = 1 | ||
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woraus folgt: | woraus folgt: | ||
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x1 = 1 | x1 = 1 | ||
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In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich | In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich | ||
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4*x2 -x3 - 4 = 0 | 4*x2 -x3 - 4 = 0 | ||
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Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung | Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung. | ||
Die Bedingung, dass die Quinte rein sein soll, ergibt | |||
Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung <x1, x2, x3 ||-2, 0, 1> = log2(5/4) ergibt. | |||
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung <x1, x2, x3 ||1, 1, -1> = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung. | |||
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung <x1, x2, x3 ||-1, 1, 0> = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung. | |||
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Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: <a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow">Tuning continua and keyboard layouts</a>, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.<br /> | Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: <a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow">Tuning continua and keyboard layouts</a>, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextTocRule: | <!-- ws:start:WikiTextTocRule:18:&lt;img id=&quot;wikitext@@toc@@flat&quot; class=&quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&quot; title=&quot;Table of Contents&quot; src=&quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;h=16&quot;/&gt; --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --><a href="#Charakterisierung über Kommas">Charakterisierung über Kommas</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;vals&quot;">Charakterisierung über &quot;vals&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;">Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --> | <a href="#Höherdimensionale Temperaturen">Höherdimensionale Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --> | <a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen">Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --> | <a href="#Nichtoktavische Temperaturen">Nichtoktavische Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Charakterisierung über Kommas"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Charakterisierung über Kommas</h1> | ||
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br /> | Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br /> | ||
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also<br /> | Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also<br /> | ||
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br /> | Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Charakterisierung über &quot;vals&quot;"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Charakterisierung über &quot;vals&quot;</h1> | ||
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<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists">Englischsprachiger Artikel</a><br /> | <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists">Englischsprachiger Artikel</a><br /> | ||
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Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:<br /> | Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:<br /> | ||
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&lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&gt; = 0&lt;br/&gt;[[math]] | |||
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-4*x1 +4*x2 -x3 = 0<br /> | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:2: | ||
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-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&lt;br/&gt;[[math]] | |||
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Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &quot;musikalisch sinnvoll&quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also<br /> | Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &quot;musikalisch sinnvoll&quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also<br /> | ||
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&lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&gt; | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:3: | ||
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&lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&gt; = log2(2) = 1&lt;br/&gt;[[math]] | |||
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In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich<br /> | In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich<br /> | ||
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Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/3-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/4-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig">1/6-</a> oder <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig">2/7-</a>Komma mitteltönigen Stimmung, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung">Lucy-Stimmung</a> , und streng mathematisch auch die rein <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch">pythagoräische</a> Stimmung sowie <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth">superpythagoräische</a> Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.<br /> | |||
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Beispielsweise erhält man die <a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">Viertelkomma-mitteltönige</a> Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&gt; = log2(5/4) ergibt.<br /> | |||
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Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die <a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">Drittelkomma-mitteltönige</a> Stimmung. <br /> | |||
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Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&gt; = log2(3/2) und die <a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch">pythagoräische</a> Stimmung.<br /> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc2"><a name="Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</h1> | ||
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<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a><br /> | <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a><br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --><!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&lt;img src=&quot;/i/anchor.gif&quot; class=&quot;WikiAnchor&quot; alt=&quot;Anchor&quot; id=&quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&quot; title=&quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&quot;/&gt; --><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 -->Höherdimensionale Temperaturen</h1> | ||
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br /> | Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br /> | ||
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS</a>-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.<br /> | Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS</a>-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc4"><a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 -->Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</h1> | ||
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufige</a> Temperatur.<br /> | Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufige</a> Temperatur.<br /> | ||
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Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.<br /> | Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc5"><a name="Nichtoktavische Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 -->Nichtoktavische Temperaturen</h1> | ||
[to do]</body></html></pre></div> | [to do]</body></html></pre></div> | ||