Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen

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* über eine normierte "val"-Liste

&lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&gt; = 0

[[math]]

 

also

 

[[math]]

-4*x1 +4*x2 -x3 = 0

[[math]]

 

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

 

[[math]]

&lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&gt; = log2(2) = 1

[[math]]

 

woraus folgt:

 

[[math]]

x1 = 1

[[math]]

 

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

 

[[math]]

4*x2 -x3 - 4 = 0

[[math]]

 

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

 

Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&gt; = log2(5/4) ergibt.

 

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.  

 

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung.

 

[Todo normierte Val-Listen ]

 

 

[[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]]

 

 

[Todo Beispiele]

 

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und [[MOS-Skalen|MOS]]-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.

 

 

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441_524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo]].

 

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.

 

&lt;ul&gt;&lt;li&gt;über eine normierte &amp;quot;val&amp;quot;-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über eine normierte &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma"&gt;Komma&lt;/a&gt;-Liste&lt;/li&gt;&lt;li&gt;über einen &amp;quot;wedgie&amp;quot;&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18:&amp;lt;img id=&amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;quot; class=&amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;quot; title=&amp;quot;Table of Contents&amp;quot; src=&amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;h=16&amp;quot;/&amp;gt; --&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&gt;&lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&gt;Charakterisierung über Kommas&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&gt; | &lt;a href="#Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;"&gt;Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&gt; | &lt;a href="#Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;"&gt;Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&gt; | &lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&gt;Höherdimensionale Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&gt; | &lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --&gt; | &lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&gt;Nichtoktavische Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: --&gt;

&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --&gt;&lt;hr /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc0"&gt;&lt;a name="Charakterisierung über Kommas"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&gt;Charakterisierung über Kommas&lt;/h1&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc1"&gt;&lt;a name="Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&gt;Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;&lt;/h1&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:

[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;

&amp;lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&amp;gt; = 0&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]

--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;&lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&gt; = 0&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

also&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:

[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;

-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]

--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;-4*x1 +4*x2 -x3 = 0&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:

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&amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&amp;gt; = log2(2) = 1&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]

--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;&lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&gt; = log2(2) = 1&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

woraus folgt:&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

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[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;

x1 = 1&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]

--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;x1 = 1&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:

[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;

4*x2 -x3 - 4 = 0&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]

--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;4*x2 -x3 - 4 = 0&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (&lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/3-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/4-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/6-&lt;/a&gt; oder &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&gt;2/7-&lt;/a&gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&gt;Lucy-Stimmung&lt;/a&gt; , und streng mathematisch auch die rein &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&gt;pythagoräische&lt;/a&gt; Stimmung sowie &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&gt;superpythagoräische&lt;/a&gt; Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Beispielsweise erhält man die &lt;a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;Viertelkomma-mitteltönige&lt;/a&gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;Drittelkomma-mitteltönige&lt;/a&gt; Stimmung. &lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die &lt;a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch"&gt;pythagoräische&lt;/a&gt; Stimmung.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc2"&gt;&lt;a name="Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&gt;Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;&lt;/h1&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank"&gt;englischsprachiger Artikel&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc3"&gt;&lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:26:&amp;lt;img src=&amp;quot;/i/anchor.gif&amp;quot; class=&amp;quot;WikiAnchor&amp;quot; alt=&amp;quot;Anchor&amp;quot; id=&amp;quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&amp;quot; title=&amp;quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&amp;quot;/&amp;gt; --&gt;&lt;a name="Höherdimensionale Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:26 --&gt;Höherdimensionale Temperaturen&lt;/h1&gt;

&lt;br /&gt;

[Todo Beispiele]&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und &lt;a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen"&gt;MOS&lt;/a&gt;-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara"&gt;Pajara&lt;/a&gt; ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc4"&gt;&lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 --&gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&lt;/h1&gt;

&lt;br /&gt;

Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das &lt;a class="wiki_link" href="/531441_524288"&gt;pythagoräische Komma&lt;/a&gt; austemperiert, erhält man das bekannte &lt;a class="wiki_link" href="/12edo"&gt;12edo&lt;/a&gt;.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:16:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc5"&gt;&lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:16 --&gt;Nichtoktavische Temperaturen&lt;/h1&gt;