Reguläre Temperatur

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Original Wikitext content:

Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen [[mitteltönig|mitteltönigen]] Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.

[[toc|flat]]
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=Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur= 
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 [[Cent]]) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.

Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem [[pythagoräisch|pythagoräischen]]) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise [[MOS-Skalen]] wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.

Beispielsweise wird in [[Reine Stimmungen|reiner Stimmung]] die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).

Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.

Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches [[Syntonisches Komma|syntonisches Komma]] genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - "austemperiert" ist der Fachausdruck dafür.

Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:
||~ Reine Stimmung ||~ Mittetönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung ||
|| Alle Intervalle reinzeichnen. || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein ||
|| Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]]die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.

=Verallgemeinerung= 
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:
* Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, "Generator" genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens "Periode" (im obigen Fall eine Oktave)
* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.

Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:
* Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem [[Ganzton]] gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.
> Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.
* Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in [[MOS-Skalen]] strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine [[xenharmonie/Intervall|Intervalle]]) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.
> Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.
* Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung "erbt" dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.
> Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in [[19edo]] oder [[31edo]] spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur //nicht// unterstützen, wie [[22edo]], geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).

=Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur= 
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die [[Porcupine]]-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme <span style="line-height: 1.5;">[[xenharmonie/15edo|15edo]]</span> und <span style="line-height: 1.5;">[[xenharmonie/22edo|22edo]]</span> gelten kann.

Bei dieser wird das <span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">Intervall [[xenharmonie/250_243|250/243]] (welches entsprechend </span>//<span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">Porcupine-Komma </span>//<span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei "kleinen Ganztönen" (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).</span>

<span style="background-color: #ffffff;">Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span>

<span style="background-color: #ffffff;">Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.</span>

=Mathematische Betrachtung= 
Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im [[Intervallraum]] anschauen.

Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also 

[[math]]
2^{-4}*3^4*5^{-1}
[[math]]

Die KET-Vektordarstellung davon ist

[[math]]
|-4 \, 4 \, -1 \rangle
[[math]]

Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen ]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.

Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.

==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen== 
XXX Alter Artikel

Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])

Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.

Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.

==Mehrere Generatoren== 
XXX

=Katalog der regulären Temperaturen= 
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das [[xenharmonic/Regular Temperaments|englische Xenharmonic Wiki]] bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.

Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:
[[include component="pageList" hideInternal="true" tag="Temperatur" limit="10"]]

Original HTML content:

<html><head><title>Reguläre Temperaturen</title></head><body>Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextTocRule:17:&lt;img id=&quot;wikitext@@toc@@flat&quot; class=&quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&quot; title=&quot;Table of Contents&quot; src=&quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;h=16&quot;/&gt; --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --><a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur">Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --> | <a href="#Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --> | <a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur">Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --> | <a href="#Mathematische Betrachtung">Mathematische Betrachtung</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:24: --> | <a href="#Katalog der regulären Temperaturen">Katalog der regulären Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:24 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:25: -->
<!-- ws:end:WikiTextTocRule:25 --><hr />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur</h1>
 Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.<br />
<br />
Denn während in einem nur auf Quinte und Oktave aufbauenden Tonsystem (also einem <a class="wiki_link" href="/pythagor%C3%A4isch">pythagoräischen</a>) die Skalen eine relativ regelmässige Struktur haben (typischerweise <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS-Skalen</a> wie die pentatonische und die diatonische Skala mit nur 2 Intervallgrössen), entstehen durch Hinzunahme der reinen Terz Skalen von unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, was die Möglichkeiten für Transponieren und Modulationen einschränkt - oder aber Tonvorräte mit einer grossen Anzeichnen.zahl verschiedener Tonhöhen nötig macht.<br />
<br />
Beispielsweise wird in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen">reiner Stimmung</a> die grosse Terz 5/4 in zwei verschieden grosse Ganztöne geteilt, einen grossen (9/8, 203.91 Cent) und einen kleinen (10/9, 182.40 Cent).<br />
<br />
Die Lösung besteht bekanntlich darin, als Grundintervall eine um einen minimalen Betrag verkleinerte Quinte zu verwenden, so dass 4 solcher Intervalle oktavbereinigt eine reine grosse Terz (oder ein Intervall nahe daran) ergeben.<br />
<br />
Der Unterschied zwischen der aus 4 reinen Quinten hergeleiteten und der reinen grossen Terz, ein Intervall der Grösse 21,506 Cent, welches <a class="wiki_link" href="/Syntonisches%20Komma">syntonisches Komma</a> genannt wird, wird in der mitteltönigen Stimmung also zum Verschwinden gebracht - &quot;austemperiert&quot; ist der Fachausdruck dafür.<br />
<br />
Das Tonmaterial bei einer mitteltönigen Stimmung wird auf dieselbe Art generiert wie beim pythagoräischen System, nämlich durch Übereinanderschichten des Generatorintervalls, und hat als Resultat ebenfalls die einfachere Struktur von MOS-Skalen mit besserer Transponierbarkeit. Die mitteltönige Temperatur repräsentiert also eine Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Tonsystemen:<br />


<table class="wiki_table">
    <tr>
        <th>Reine Stimmung<br />
</th>
        <th>Mittetönige Temperatur<br />
</th>
        <th>Gleichstufige Stimmung<br />
</th>
    </tr>
    <tr>
        <td>Alle Intervalle reinzeichnen.<br />
</td>
        <td>Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit<br />
</td>
        <td>Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein<br />
</td>
    </tr>
    <tr>
        <td>Skalen sehr unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig<br />
</td>
        <td>Skalen in MOS-Form, gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen<br />
</td>
        <td>Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen<br />
</td>
    </tr>
</table>

Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a>die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Verallgemeinerung</h1>
 Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:<br />
<ul><li>Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &quot;Generator&quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &quot;Periode&quot; (im obigen Fall eine Oktave)</li><li>Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.</li><li>Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls.</li><li>Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein <a class="wiki_link" href="/Komma">Komma</a>, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.</li></ul><br />
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:<br />
<ul><li>Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem <a class="wiki_link" href="/Ganzton">Ganzton</a> gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.<br />
Für jede Temperatur ergeben sich so typische melodische und harmonische Wendungen.</li><li>Aus dem Konstruktionsprinzip ersieht man, dass das Tonmaterial in <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS-Skalen</a> strukturiert auftritt. Im Falle der mitteltönigen Stimmung sind das die pentatonische Skala mit der Struktur 2L 3s (zwei große, drei kleine <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervall">Intervalle</a>) sowie die diatonische Skala mit der Struktur 5L 2s (5 grosse, 2 kleine Intervalle), wobei bei letzterer L ein Ganzton und s ein Halbton ist.<br />
Je nach Generator (und Periode) ergeben sich verschiedene typische MOS-Skalentypen.</li><li>Wenn Generator und Periode einer regulären Temperatur beide Teil einer gleichstufigen Stimmung sind, kann die gleichstufige Stimmung als Realisierung dieser Temperatur gesehen werden - man sagt dann, die gleichstufige Stimmung unterstützt diese Temperatur. Die gleichstufige Stimmung &quot;erbt&quot; dann sozusagen die für die Temperatur typischen Intervallbeziehungen, melodischen und harmonischen Wendungen.<br />
Gleichstufige Stimmungen, welche dieselbe reguläre Temperatur unterstützen, sind deshalb nah verwandt. Man kann musikalische Werke, welche für ein mitteltöniges Tonsystem geschrieben wurden, also etwa barocke oder klassische Werke, in der Regel ohne weiteres in <a class="wiki_link" href="/19edo">19edo</a> oder <a class="wiki_link" href="/31edo">31edo</a> spielen, weil diese Systeme ebenfalls mitteltönig sind und so dieselben melodischen und harmonischen Wendungen unterstützen. Bei Systemen, welche die mitteltönige Temperatur <em>nicht</em> unterstützen, wie <a class="wiki_link" href="/22edo">22edo</a>, geht das zum Teil nicht so gut (was natürlich seinerseits gewollt sein kann, wenn der Komponist Neuland beschreiten möchte).</li></ul><br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc2"><a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur</h1>
 Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die <a class="wiki_link" href="/Porcupine">Porcupine</a>-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo">15edo</a></span> und <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo">22edo</a></span> gelten kann.<br />
<br />
Bei dieser wird das <span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">Intervall <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/250_243">250/243</a> (welches entsprechend </span><em><span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">Porcupine-Komma </span></em><span style="background-color: #ffffff; line-height: 1.5;">heisst) austemperiert. Dieses Intervall (etwa 49.166 Cent gross) erscheint in reiner Stimmung als Differenz zwischen drei &quot;kleinen Ganztönen&quot; (10/9) und einer reinen Quarte (4/3), oder aber zwischen zwei reinen Quarten und drei kleinen Terzen (6/5).</span><br />
<br />
<span style="background-color: #ffffff;">Porcupine-Systeme haben als Generator einen (etwas herabtemperierten) kleinen Ganzton. Drei Generatorenschritte bilden eine Quarte - eine Quarte ist also in drei gleiche Teile teilbar. Sechs Generatorenschritte bilden eine kleine Septime - welche ihrerseits in drei kleine Terzen teilbar ist, woraus folgt, dass zwei Generatorenschritte eine kleine Terz bilden, die kleine Terz also in zwei gleiche Teile teilbar ist. Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span><br />
<br />
<span style="background-color: #ffffff;">Das alles sind Eigenschaften, die sich von mitteltönigen Systemen doch deutlich unterscheiden! Trotzdem ist Porcupine verblüffend einfach zu handhaben.</span><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Mathematische Betrachtung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Mathematische Betrachtung</h1>
 Den Vorgang des Austemperierens kann man etwas strenger mathematisch im <a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a> anschauen.<br />
<br />
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br />
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also <br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
2^{-4}*3^4*5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">2^{-4}*3^4*5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
Die KET-Vektordarstellung davon ist<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&lt;br/&gt;
|-4 \, 4 \, -1 \rangle&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">|-4 \, 4 \, -1 \rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow">Äquivalenzklassen </a> zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow">Quotientenmoduls</a>: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.<br />
<br />
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc4"><a name="Mathematische Betrachtung-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Verallgemeinerte reguläre Temperaturen</h2>
 XXX Alter Artikel<br />
<br />
Der Begriff <em>reguläre Temperatur</em> (im Englischen: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank">regular temperament</a>) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:<br />
<ul><li>eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung</li><li>eine <a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur">verallgemeinerte reguläre Temperatur</a> (englisch: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank">abstract regular temperament</a>)</li></ul><br />
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine <a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung">reguläre Stimmung</a>, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem <a class="wiki_link" href="/Rang">Rang</a> interpretiert werden.<br />
<br />
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der <a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/3-</a>, <a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/4-</a>, <a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig">1/6-</a> oder <a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig">2/7-</a>Komma mitteltönigen Stimmung, <a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung">Lucy-Stimmung</a> etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc5"><a name="Mathematische Betrachtung-Mehrere Generatoren"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 -->Mehrere Generatoren</h2>
 XXX<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:15:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc6"><a name="Katalog der regulären Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:15 -->Katalog der regulären Temperaturen</h1>
 Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments">englische Xenharmonic Wiki</a> bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.<br />
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Seiten zu konkreten Temperaturen auf diesem Wiki:<br />
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