Reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte. | Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte. | ||
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt | Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann. | ||
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Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]]. | |||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Reguläre Temperaturen</title></head><body>Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.<br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Reguläre Temperaturen</title></head><body>Das Paradigma der regulären Abbildungen ist ein mächtiges Konzept, das unter anderem eine Verallgemeinerung der Idee der historischen <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Stimmung leistet, jedoch noch weit darüber hinausgeht.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextTocRule: | <!-- ws:start:WikiTextTocRule:11:&lt;img id=&quot;wikitext@@toc@@flat&quot; class=&quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&quot; title=&quot;Table of Contents&quot; src=&quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;h=16&quot;/&gt; --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --><a href="#Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur">Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --> | <a href="#Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: --> | <a href="#Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur">Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:15: --> | <a href="#Mathematischer Ansatz">Mathematischer Ansatz</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --> | <a href="#Katalog der regulären Temperaturen">Katalog der regulären Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 -->Einführung am Beispiel der mitteltönigen Temperatur</h1> | ||
Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.<br /> | Die Grundidee der mitteltönigen Temperaturen kann man herleiten aus der Beobachtung, dass man bei Übereinanderschichtung von 4 reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3/2) oktavreduziert auf dem Intervall 81/64 (407.82 <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>) landet, das nahe an der reinen grossen Terz (5/4, 386.31 Cent) liegt, jedoch etwas höher und weniger konsonant ist als diese, und aus dem Wunsch, ein Tonsystem mit möglichst reinen grossen Terzen zu haben, dabei aber die Gesamtmenge der notwendigen Töne überschaubar zu halten.<br /> | ||
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Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.<br /> | Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Verallgemeinerung</h1> | ||
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:<br /> | Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:<br /> | ||
<ul><li>Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &quot;Generator&quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &quot;Periode&quot; (im obigen Fall eine Oktave)</li><li>Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.</li><li>Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert</li><li>Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein <a class="wiki_link" href="/Komma">Komma</a>, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.</li></ul><br /> | <ul><li>Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &quot;Generator&quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &quot;Periode&quot; (im obigen Fall eine Oktave)</li><li>Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.</li><li>Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert</li><li>Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein <a class="wiki_link" href="/Komma">Komma</a>, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.</li></ul><br /> | ||
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Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.<br /> | Die im vorherigen Kapitel beschreibene Mittelposition zwischen reinen und gleichstufigen Stimmungen gilt natürlich ebenso für jeder reguläte Temperatur.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc2"><a name="Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Einfaches alternatives Beispiel: Porcupine-Temperatur</h1> | ||
Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die <a class="wiki_link" href="/Porcupine">Porcupine</a>-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo">15edo</a></span> und <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo">22edo</a></span> gelten kann.<br /> | Ein einfaches Beispiel für eine von der mitteltönigen verschiedenen regulären Temperatur ist die <a class="wiki_link" href="/Porcupine">Porcupine</a>-Temperatur, welche als guter Einstiegspunkt für die gleichstufigen Systeme <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/15edo">15edo</a></span> und <span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/22edo">22edo</a></span> gelten kann.<br /> | ||
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem <a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa">Alphorn-Fa</a> ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &quot;Alphorn-Fa&quot;-Quarte.<br /> | Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, wleches dem <a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa">Alphorn-Fa</a> ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &quot;Alphorn-Fa&quot;-Quarte.<br /> | ||
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt | Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Mathematischer Ansatz"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Mathematischer Ansatz</h1> | |||
Was bis hier etwas (hoffentlich) allgemeinverständlich beschrieben wurde, lässt sich auch strenger mathematisch formulieren. Siehe hierzu <a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur">Verallgemeinerte reguläre Temperatur</a>.<br /> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc4"><a name="Katalog der regulären Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Katalog der regulären Temperaturen</h1> | ||
Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments">englische Xenharmonic Wiki</a> bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.<br /> | Das Universum aller möglichen regulären Temperaturen, mit allen möglichen Varianten von Generatoren (und Perioden), kann mit Fug und Recht als unermesslich bezeichnet werden. Eine grosse Menge solcher verallgemeinerter Temperaturen ist mittlerweile beschrieben und untersucht worden, in Bezug auf ihre Eigenschaften wie: Kommas, die sie austemperieren, und die daraus resultierenden Intervallbeziehungen, typische MOS-Skalen, gleichstufige Temperaturen, die sie unterstützen. Vielen Temperaturen wurden eigene (mehr oder weniger exotische/witzige/intelligente) Namen verpasst. Das <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments">englische Xenharmonic Wiki</a> bietet hier eine gute Referenz mit einer mittlerweile fast unübersehbaren Fülle von Informationen.<br /> | ||
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