Untergruppe der reinen Stimmung: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung von Elementen ('' | Eine '''Untergruppe der reinen Stimmung''' baut man durch Aufeinanderschichtung {{fortgeschritten|(von endlich vielen Kopien)}} von Elementen (''Erzeugern'' bzw. ''Basiselementen'') aus einer gewählten Menge (''Basis'') aus [[Reine Stimmung|reinen Intervallen]]. Zum Beispiel: | ||
* Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von [[2/1]] (Oktave), [[3/1]] ([[reine Quinte]] + Oktave) und [[7/1]] ([[Naturseptime]] + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3). | |||
* Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern [[2/1]], [[7/3]] und [[11/3]]. Beispielsweise gehört [[14/11]] (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe. | |||
''p''-[[Limit]] für eine Primzahl ''p'' ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise ''alle'' Primzahlen bis ''p'' enthalten. | |||
[[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe. | [[reguläre Temperatur|Reguläre Temperaturen]] vereinfachen durch [[Austemperieren]] von [[Komma]]ta die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen. | ||
{{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein <math>\mathbb{Z}</math>-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] | {{Fortgeschritten|Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein freier <math>\mathbb{Z}</math>-Modul), die in der Lehre der [[reguläre Temperatur|regulären Temperaturen]] mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.}} | ||
== Siehe auch == | |||
* [[Intervallraum]] | |||
[[Kategorie:Begriff]] | |||
Aktuelle Version vom 13. April 2026, 11:05 Uhr
Eine Untergruppe der reinen Stimmung baut man durch Aufeinanderschichtung (von endlich vielen Kopien) von Elementen (Erzeugern bzw. Basiselementen) aus einer gewählten Menge (Basis) aus reinen Intervallen. Zum Beispiel:
- Die 2.3.7-Untergruppe besteht aus allen reinen Intervallen, die durch Aufeinanderschichtung (aufwärts oder abwärts) von 2/1 (Oktave), 3/1 (reine Quinte + Oktave) und 7/1 (Naturseptime + zwei Oktaven) erreichen lassen — das Verhältnis 7/6 gehört daher zur 2.3.7-Untergruppe, denn es zerlegt sich in Primfaktoren 2, 3 und 7, nämlich 7/6 = 7 / (2 * 3).
- Die 2.7/3.11/3-Untergruppe baut man auf ähnliche Weise aus Erzeugern 2/1, 7/3 und 11/3. Beispielsweise gehört 14/11 (417,5 Cent) = (7/3) / (11/3) * (2/1) zu dieser Untergruppe.
p-Limit für eine Primzahl p ist eine Untergruppe der reinen Stimmung, dieser Begriff bezieht sich aber auf analogen Strukturen, deren Basen nicht notwendigerweise alle Primzahlen bis p enthalten.
Reguläre Temperaturen vereinfachen durch Austemperieren von Kommata die Struktur einer solchen Untergruppe und vermindern auch deren Rang (Dimensionalität), sodass wenigere Erzeuger notwendig sind, um ein beliebiges Intervall in der Temperatur zu erreichen.
Mathematisch betracht ist eine Untergruppe der reinen Stimmung eine Gruppe, genauer gesagt eine freie abelsche Gruppe (äquivalent ein freier [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-Modul), die in der Lehre der regulären Temperaturen mithilfe der linearen Algebra untersucht wird.