Verallgemeinerte reguläre Temperatur
Einführungsartikel reguläre Temperaturen
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der reinen Stimmung auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
- über eine normierte "Val"-Liste
- über eine normierte Komma-Liste
- über einen "wedgie"
- als lineare Transformationen im rationalen Intervallraum
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Therie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel):
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: Tuning continua and keyboard layouts, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.
Charakterisierung über Kommas
Im Intervallraum erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also
[math]2^{-4} \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}[/math]
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1>
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in Äquivalenzklassen zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines Quotientenmoduls: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet.
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch abstract regular temperament. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der 1/3-, 1/4-, 1/6- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, Lucy-Stimmung etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein pythagoräische Stimmung (reine Quinten) sowie superpythagoräische Systeme (erhöhte Quinten).
Jede Basis des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.)
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.
Charakterisierung über "Vals"
[Todo normierte Val-Listen ]
Charakterisierung über "Wedgie"
[Todo]
Transformationen im rationalen Intervallraum
Gebrochenzahlige_Intervallvektoren
Höherdimensionale Temperaturen
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum. Ein Beispiel dafür ist Marvel.
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. Pajara ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.
Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine gleichstufige Temperatur.
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das pythagoräische Komma austemperiert, erhält man das bekannte 12edo.
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.
Nichtoktavische Temperaturen
[to do]