Pajara
Einführungsartikel reguläre Temperaturen
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden Intervallraum definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall nicht die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.
Austemperiert werden die folgenden Kommas: 50/49 (Jubilisma), 64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma) und 2048/2025 (Diaschisma).
Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (7/5) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" (10/7), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.
Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer harmonischen Septime (7/4), ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Wenn man es austemperiert, werden die Quarten typischerweise etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in mitteltönigen Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie - und Pajara ist, ähnlich wie Nautilus, ein interessantes Beispiel eines auf Vierklägen basierenden Harmoniesystems.
Die Naturseptime übrigens erscheint in Pajara-Temperaturen tatsächlich als Septime - dies im Gegensatz zur septimal-mitteltönigen Temperatur, welche das Intervall 7/4 ebenfalls unterstützt, jedoch als übermässige Sexte.
Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind 22-EDO, 32-EDO, 34-EDO, in Grenzen 10-EDO.
Die pentatonische MOS-Skala (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von Paul Erlich und Gene Ward Smith.
Dekatonische Pajara-Skala (ssLsssLsss) in 22-EDO-Stimmung
Weiterführender Artikel:
Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf (in englischer Sprache)