Intervallraum
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Original Wikitext content:
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.
Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von [[Primzahlen|Primzahlpotenzen]]:
[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]
wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]
Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.Original HTML content:
<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.<br />
<br />
Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlpotenzen</a>:<br />
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<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]<br/>
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.<br />
<br />
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]<br/>
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>" verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a>.<br />
<br />
Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.</body></html>