Mediant: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ~~der~~ Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen ~~und ist selbst ein gekürzter Bruch~~:

Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

Die Medianten-Operation ~~ist sehr wichtig in~~ der (xenharmonischen) ~~Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind~~:

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.

# ~~Sukzessive~~ Medianten-Operationen ~~können dazu dienen~~, ~~einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu~~ beliebiger Genauigkeit ~~approximiert~~. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], ~~also~~ die reine ~~perfekte~~ Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

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# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).

# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).

# ... (~~Wenn für uns~~ das Ergebnis ~~eines Schritts~~ nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, ~~können wir dann~~ stoppen~~. Anders machen~~ wir ~~weiter.~~)

# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==

Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, ~~wohingegen~~ wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]

# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]

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-Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:
+Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
 <math>\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.</math>
-Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
+Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
 # Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
-# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)
+# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)
 == In reiner Stimmung ==
-Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
+Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
 Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
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 # 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
 # 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
-# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)
+# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)
 == Bedeutung bei MOS-Skalen ==
 Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO).
-Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wohingegen wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
+Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
 # M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
 # M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]