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Val: Unterschied zwischen den Versionen

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<span style="display: block; text-align: right;">[[:en:Vals_and_Tuning_Space English]] - [[:en:ヴァルと音程空間 日本語]]</span>
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;[[xenharmonic/Vals and Tuning Space|English]] - [[xenharmonic/ヴァルと音程空間|日本語]]
&lt;/span&gt;
[[xenharmonie/Reguläre Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
[[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]


Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum| dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.
[[Reguläre_Temperaturen|Einführungsartikel reguläre Temperaturen]]
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html| Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )
 
[[Verallgemeinerte_reguläre_Temperatur|Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen]]
 
Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem [[Intervallraum|Intervallraum]] bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum dualen Vektorraums] zum Intervallraum.
 
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket] notiert (siehe auch [[Primfaktorzerlegung#Umrechnung von Intervallvektoren in Cents| Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ]] )


Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:
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Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.
Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.


Eine [[Reguläre Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.
Eine [[Reguläre_Temperaturen|temperierte Stimmung]] kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.


Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29| Kern]] der Val-Abbildung.
Der Prozess des Austemperierens eines [[Komma|Kommas]] stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29 Kern] der Val-Abbildung.


Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:
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4∗x2−x3−4=0
4∗x2−x3−4=0


Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( [[Drittelkomma-mitteltönig| 1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig| 1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig| 1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig| 2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung| Lucy-Stimmung]], und streng mathematisch auch die rein [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung sowie [[Superpyth| superpythagoräische ]]Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.


Beispielsweise erhält man die [[xenharmonie/viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&gt; = log2(5/4) ergibt.
Beispielsweise erhält man die [[viertelkomma-mitteltönig| Viertelkomma-mitteltönige ]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&gt; = log2(5/4) ergibt.


Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die [[Drittelkomma-mitteltönig| Drittelkomma-mitteltönige]] Stimmung.


Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&gt; = log2(3/2) und die [[xenharmonie/pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.</pre></div>
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&gt; = log2(3/2) und die [[pythagoräisch| pythagoräische]] Stimmung.
<h4>Original HTML content:</h4>
<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Val&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;&lt;span style="display: block; text-align: right;"&gt;&lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space"&gt;English&lt;/a&gt; - &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%A8%E9%9F%B3%E7%A8%8B%E7%A9%BA%E9%96%93"&gt;日本語&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
&lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&gt;Einführungsartikel reguläre Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
&lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&gt;Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Als &amp;quot;Val&amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem &lt;a class="wiki_link" href="/Intervallraum"&gt;Intervallraum&lt;/a&gt; bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&gt; dualen Vektorraums&lt;/a&gt; zum Intervallraum.&lt;br /&gt;
Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&gt; Bra-Ket&lt;/a&gt; notiert (siehe auch &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&gt; Umrechnung von Intervallvektoren in Cents &lt;/a&gt; )&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
bzw., in Dezimalzahlen:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;quot;reine&amp;quot; Stimmung.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Eine &lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen"&gt;temperierte Stimmung&lt;/a&gt; kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Der Prozess des Austemperierens eines &lt;a class="wiki_link" href="/Komma"&gt;Kommas&lt;/a&gt; stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_%28Algebra%29" rel="nofollow"&gt; Kern&lt;/a&gt; der Val-Abbildung.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;x1,x2,x3||−4,4,−1&amp;gt;=0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
also&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
−4∗x1+4∗x2−x3=0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &amp;quot;musikalisch sinnvoll&amp;quot; sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;x1,x2,x3||1,0,0&amp;gt;=log2(2)=1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
woraus folgt:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
x1=1&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
4∗x2−x3−4=0&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt; 1/3-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt; 1/4-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&gt; 1/6-&lt;/a&gt; oder &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&gt; 2/7-&lt;/a&gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung"&gt; Lucy-Stimmung&lt;/a&gt;, und streng mathematisch auch die rein &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&gt; pythagoräische&lt;/a&gt; Stimmung sowie &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth"&gt; superpythagoräische &lt;/a&gt;Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Beispielsweise erhält man die &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt; Viertelkomma-mitteltönige &lt;/a&gt; Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&amp;gt; = log2(5/4) ergibt.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||1, 1, -1&amp;gt; = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt; Drittelkomma-mitteltönige&lt;/a&gt; Stimmung.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung &amp;lt;x1, x2, x3 ||-1, 1, 0&amp;gt; = log2(3/2) und die &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch"&gt; pythagoräische&lt;/a&gt; Stimmung.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>
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