Verallgemeinerte reguläre Temperatur
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English: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der [[xenharmonie/Reine Stimmungen|reinen Stimmung]] auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:
* über eine normierte "val"-Liste ([[xenharmonic/Normal lists#x-Normal%20val%20lists|englischsprachiger Artikel]])
* über eine normierte [[xenharmonie/Komma|Komma]]-Liste
* über einen "wedgie" ([[@xenharmonic/Wedgies and Multivals|englischsprachiger Artikel]])
[[toc|flat]]
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=Charakterisierung über Kommas=
Im [[xenharmonie/Intervallraum|Intervallraum]] erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer [[Primfaktorzerlegung]] als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also
[[math]]
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}
[[math]]
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1>
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submoduls betrachtet.
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten).
Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.
=Charakterisierung über "vals"=
XXX
=Charakterisierung über "Wedgie"=
XXX
=[[#Höherdimensionale Temperaturen]]Höherdimensionale Temperaturen=
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.
[[xenharmonie/Tsaharuk|Tsaharuk]] ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. [[xenharmonie/Pajara|Pajara]] ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.Original HTML content:
<html><head><title>Verallgemeinerte reguläre Temperatur</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank">abstract regular temperament</a><br />
<br />
Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur ist eine Abbildung einer Untergruppe der <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Reine%20Stimmungen">reinen Stimmung</a> auf eine "abstrakte" reguläre Stimmung, bei der die tatsächliche Größe der Generatoren nicht vorgegeben ist. Eine verallgemeinerte reguläre Temperatur lässt sich vor allem als Klasse von konkreten regulär temperierten Stimmungen betrachten, aber auch weitere Interpretationen sind möglich.<br />
Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich:<br />
<ul><li>über eine normierte "val"-Liste (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Normal%20lists#x-Normal%20val%20lists">englischsprachiger Artikel</a>)</li><li>über eine normierte <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Komma">Komma</a>-Liste</li><li>über einen "wedgie" (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a>)</li></ul><br />
<!-- ws:start:WikiTextTocRule:9:<img id="wikitext@@toc@@flat" class="WikiMedia WikiMediaTocFlat" title="Table of Contents" src="/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&h=16"/> --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:9 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:10: --><a href="#Charakterisierung über Kommas">Charakterisierung über Kommas</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:10 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:11: --> | <a href="#Charakterisierung über "vals"">Charakterisierung über "vals"</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:11 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:12: --> | <a href="#Charakterisierung über "Wedgie"">Charakterisierung über "Wedgie"</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:12 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:13: --> | <a href="#Höherdimensionale Temperaturen">Höherdimensionale Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:13 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:14: -->
<!-- ws:end:WikiTextTocRule:14 --><hr />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:<h1> --><h1 id="toc0"><a name="Charakterisierung über Kommas"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 -->Charakterisierung über Kommas</h1>
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br />
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]<br/>
2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">2^{-4} \times 3^4 \times 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
Die KET-Vektordarstellung davon ist |-4, 4, -1><br />
<br />
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow">Äquivalenzklassen</a> zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow">Quotientenmoduls</a>: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submoduls betrachtet.<br />
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Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank">abstract regular temperament</a>). Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/3-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/4-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig">1/6-</a> oder <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig">2/7-</a>Komma mitteltönigen Stimmung, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung">Lucy-Stimmung</a> etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch">pythagoräische</a> Stimmung (reine Quinten) sowie <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth">superpythagoräische</a> Systeme (erhöhte Quinten).<br />
<br />
Jede <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow">Basis</a> des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.<br />
<br />
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:<h1> --><h1 id="toc1"><a name="Charakterisierung über "vals""></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Charakterisierung über "vals"</h1>
XXX<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:<h1> --><h1 id="toc2"><a name="Charakterisierung über "Wedgie""></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Charakterisierung über "Wedgie"</h1>
XXX<br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:<h1> --><h1 id="toc3"><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 --><!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:15:<img src="/i/anchor.gif" class="WikiAnchor" alt="Anchor" id="wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen" title="Anchor: Höherdimensionale Temperaturen"/> --><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:15 -->Höherdimensionale Temperaturen</h1>
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br />
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<a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Tsaharuk">Tsaharuk</a> ist ein Beispiel für eine Temperatur, die mit zwei Generatoren realisiert werden kann.<br />
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Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und MOS-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.</body></html>