Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen

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=Charakterisierung über "vals"=  

[[xenharmonic/Vals and Tuning Space#x-Normal%20val%20lists|Englischsprachiger Artikel]]

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des [[https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum|dualen Vektorraums]] zum Intervallraum.

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]] notiert (siehe auch [[xenharmonie/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents|Umrechnung von Intervallvektoren in Cents]])

&lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

 

&lt;1, 1.58496, 2.32193,...|

 

 

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&amp;lt;img id=&amp;quot;wikitext@@toc@@flat&amp;quot; class=&amp;quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&amp;quot; title=&amp;quot;Table of Contents&amp;quot; src=&amp;quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;amp;h=16&amp;quot;/&amp;gt; --&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --&gt;&lt;a href="#Charakterisierung über Kommas"&gt;Charakterisierung über Kommas&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --&gt; | &lt;a href="#Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;"&gt;Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --&gt; | &lt;a href="#log2(2)"&gt;log2(2)&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --&gt; | &lt;a href="#Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;"&gt;Charakterisierung über &amp;quot;Wedgie&amp;quot;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --&gt; | &lt;a href="#Höherdimensionale Temperaturen"&gt;Höherdimensionale Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --&gt; | &lt;a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --&gt; | &lt;a href="#Nichtoktavische Temperaturen"&gt;Nichtoktavische Temperaturen&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --&gt;&lt;!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --&gt;

&lt;!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --&gt;&lt;hr /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc1"&gt;&lt;a name="Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 --&gt;Charakterisierung über &amp;quot;vals&amp;quot;&lt;/h1&gt;

  &lt;br /&gt;

&lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Vals%20and%20Tuning%20Space#x-Normal%20val%20lists"&gt;Englischsprachiger Artikel&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;

Als &amp;quot;Val&amp;quot; wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des &lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum" rel="nofollow"&gt;dualen Vektorraums&lt;/a&gt; zum Intervallraum.&lt;br /&gt;

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&gt;Bra-Ket&lt;/a&gt; notiert (siehe auch &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Primfaktorzerlegung#Umrechnung%20von%20Intervallvektoren%20in%20Cents"&gt;Umrechnung von Intervallvektoren in Cents&lt;/a&gt;)&lt;br /&gt;

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:&lt;br /&gt;

&amp;lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|&lt;br /&gt;

bzw., in Dezimalzahlen:&lt;br /&gt;

&amp;lt;1, 1.58496, 2.32193,...|&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Dieser Val beschreibt die untemperierte, &amp;quot;reine&amp;quot; Stimmung.&lt;br /&gt;

&lt;br /&gt;

Eine temperierte Stimmung erhält man naheliegenderweise, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0&amp;gt; nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.&lt;br /&gt;

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im &lt;a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow"&gt;Kern&lt;/a&gt; der Val-Abbildung.&lt;br /&gt;

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&amp;gt; . Für den Val &amp;lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:&lt;br /&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc5"&gt;&lt;a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&gt;Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen&lt;/h1&gt;

&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;lt;h1&amp;gt; --&gt;&lt;h1 id="toc6"&gt;&lt;a name="Nichtoktavische Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&gt;Nichtoktavische Temperaturen&lt;/h1&gt;