Gebrochenzahlige Intervallvektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]). | |||
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Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2 | Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span>. | ||
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2 | Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">(1/n)</span>, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] | ||
Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich. | |||
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[ | Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 > einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 > steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss. | ||
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht. | |||
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Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein. | Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein. | ||
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Version vom 17. Juli 2018, 00:00 Uhr
Wie auf der Seite Primfaktorzerlegung beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende Intervallraum ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul).
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2a * 3b * 5c.
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2(1/n), also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer gleichstufigen
Stimmung, von n-Edo nämlich.
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 > einen Basisschritt der Bohlen-Pierce-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 > steht für den Wert, um den eine Quinte in der Viertelkomma-mitteltönigen Stimmung vermindert werden muss.
Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung reiner Stimmungen, gleichstufiger Tonsysteme wie auch regulärer Temperaturen in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.
Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle
Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.
Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein.
Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum
[To do]