Gebrochenzahlige Intervallvektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]. | |||
Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein Z-Modul. | |||
Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren | Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen. | ||
Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall | Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span> - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können. | ||
Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2 | Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">(1/n)</span>, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich. | ||
Stimmung, von n-[[Edo]] nämlich. | |||
Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 > einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 > steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[ | Analog beschreibt der Vektor | 0, 1/13, 0 > einen Basisschritt der [[Bohlen-Pierce|Bohlen-Pierce]]-Stimmung, und der Vektor | -1, 1, -1/4 > steht für den Wert, um den eine Quinte in der [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Stimmung vermindert werden muss. | ||
Der so erweiterte Intervallraum ist nun ein „echter“ Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn, zum Körper Q der rationalen Zahlen, und mit ihm haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine_Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre_Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht. | |||
=Rationale Intervallvektoren und reine Intervalle= | |||
Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinen Intervallen: jedes durch einen rationalen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt. | |||
Wenn als Koeffizienten des Intervallvektors nicht nur rationale, sondern beliebige reelle Zahlen erlaubt sind, gibt es diese eindeutige Beziehung nicht: dann kann jedes Intervall eine Potenz von jeder beliebigen Primzahl wie auch auf unendlich viele verschiedene Arten eine Kombination von Primzahlpotenzen sein. | |||
=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum= | |||
[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums <math>Q^n</math> auf sich selbst ist. | |||
Die | Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass <math>T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)</math> gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll. | ||
[To do Beispiel] | |||
[To do Vals] | |||
=Eigenmonzos= | |||
Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar. | |||
Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt: | |||
<math>T(v) = \lambda * v</math> | |||
Der skalare Wert <math>\lambda</math> wird dabei '''Eigenwert''' genannt. | |||
Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. | |||
Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0. | |||
Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15. | |||
Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet. | |||