Gebrochenzahlige Intervallvektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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[[en:Fractional_monzos]]

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Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul].

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2a * 3b * 5c.

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2a * 3b * 5c - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2(1/n), also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

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Der skalare Wert <math>\lambda</math> wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. ~~austemperierten~~ Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der ~~viertelkomma~~-mitteltönigen Temperatur ~~sind~~ das ~~etwa die~~ Oktave 2/1 ~~und~~ die reine grosse Terz 5/4, bei der ~~drittelkomma~~-mitteltönigen Temperatur dagegen ~~Oktave und~~ kleine Terz 6/5.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1.

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.

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 [[en:Fractional_monzos]]
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 Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].
 Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.
-Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span>.
+Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span> - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.
 Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">(1/n)</span>, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.
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 Der skalare Wert <math>\lambda</math> wird dabei '''Eigenwert''' genannt.
-Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1. Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden (d. h. austemperierten Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0). Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der viertelkomma-mitteltönigen Temperatur sind das etwa die Oktave 2/1 und die reine grosse Terz 5/4, bei der drittelkomma-mitteltönigen Temperatur dagegen Oktave und kleine Terz 6/5.
+Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1.
+Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0.
+Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.
 Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.