Konsistent

Eine temperierte Stimmung heisst konsistent, wenn, umgangssprachlich gesagt, die temperierten Intervalle untereinander dieselben Beziehungen zeigen wie ihre reinen Äquivalente, also z. B. wenn eine temperierte grosse Terz kombiniert mit einer temperierten kleinen Terz eine temperierte Quinte ergibt.

In einem Intervallraum, wo Intervalle als Vektoren repräsentiert sind, präsentiert sich das Kombinieren von Intervallen als einfache Vektoraddition. Wenn eine temperierte Stimmung als eine Abbildung T in einem rationalen Intervallraum repräsentiert ist, bedeutet Konsistenz:

[math]T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)[/math]

D. h. die Temperatur-Abbildung T ist eine lineare Abbildung. Sie kann als Matrix geschrieben werden.

In der Praxis wird Konsistenz in der Regel nur auf einer endlichen Menge reiner Intervalle geprüft, typischerweise auf die Intervalle eines Odd-Limit-Tonalitätsdiamanten. Eine temperierte Stimmung ist in der Praxis in der Regel auch nur für eine begrenzte Menge Intervalle relevant, obwohl man rein mathematisch die entsprechende lineare Abbildung theoretisch auf beliebige Intervalle anwenden kann.

Beispiel

Ein Beispiel für eine temperierte Stimmung, die nicht konsistent ist, ist 25-EDO, verstanden als Abbildung T definiert durch

T(v) = "die beste Approximation des reinen Intervalls v durch ein Element von 25-EDO".

Sie ist, genauer gesagt, nicht konsistent in 7-Odd-Limit: die Approximation der harmonischen Septime 7/4 ist 20 25-EDO-Schritte gross, die der reinen Quinte 15 Schritte. Die Differenz, 5 Schritte, entspricht jedoch nicht der besten Approximation von 7/6, welches in reiner Stimmung die Differenz zwischen 7/4 und 3/2 ist - die beste Approximation dafür wäre 6 Schritte groß.