Primzahl - Versionsgeschichte

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	Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme\|gleichstufigen Tonsystemen]].		Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme\|gleichstufigen Tonsystemen]].

	=Primzahlen und reine Stimmungen=		__TOC__

			== Primzahlen und reine Stimmungen ==
	[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]		[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

	=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=		== Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme ==
	In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen ~~Tonsystems~~. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:		In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen [[Tonsystem]]s. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

	* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.		* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
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	* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]		* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

	[[~~Category~~:~~Begriff~~]]		[[Kategorie:Theorie]]
	[[~~Category~~:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Begriff]]

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	[[en:prime numbers]]		[[en:prime numbers]]

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	In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:		In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

	* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[~~12edo~~]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in ~~12edo~~ - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.		* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12-EDO]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12-EDO - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
	* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.		* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
	* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].		* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[~~19edo~~]] ein Kandidat.		Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19-EDO]] ein Kandidat.

	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[~~27edt~~]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[~~17edo~~]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27-EDT]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17-EDO]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

	All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.		All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

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	'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.		'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.

	Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[~~Reine_Stimmungen~~\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[~~Gleichstufige_Tonsysteme~~\|gleichstufigen Tonsystemen]].		Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme\|gleichstufigen Tonsystemen]].

	=Primzahlen und reine Stimmungen=		=Primzahlen und reine Stimmungen=
	[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]		[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese ~~klassiche~~ Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

	=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=		=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
	In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:		In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

	~~<ul><li>~~Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[~~12edo\|~~12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.~~</li><li>~~Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.~~</li><li>~~Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[~~Pajara\|~~Pajara]].~~</li></ul>~~		* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
			* Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
			* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[~~19edo\|~~19edo]] ein Kandidat.		Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[~~Bernhard_Stopper~~\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[~~27edt\|~~27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[~~17edo\|~~17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

	All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.		All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

	==Verweise==		== Verweise ==
	~~<ul><li>~~[[~~Primfaktorzerlegung\|~~Primfaktorzerlegung]]~~</li><li>~~[[~~Intervallraum\|~~Intervallraum]]~~</li><li>English: [[:en:prime_numbers\|xenharmonic/prime numbers]]</li><li>~~[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]~~</li></ul>~~ [[Category:Begriff]]		* [[Primfaktorzerlegung]]
			* [[Intervallraum]]
			* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]

			[[Category:Begriff]]
	[[Category:Mathematik]]		[[Category:Mathematik]]

			<!-- interwiki -->
			[[en:prime numbers]]

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Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“

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	==Verweise==		==Verweise==
	<ul><li>[[Primfaktorzerlegung\|Primfaktorzerlegung]]</li><li>[[Intervallraum\|Intervallraum]]</li><li>English: [[:en:prime_numbers xenharmonic/prime numbers]]</li><li>[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]</li></ul> [[Category:Begriff]]		<ul><li>[[Primfaktorzerlegung\|Primfaktorzerlegung]]</li><li>[[Intervallraum\|Intervallraum]]</li><li>English: [[:en:prime_numbers\|xenharmonic/prime numbers]]</li><li>[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]</li></ul> [[Category:Begriff]]
	[[Category:Mathematik]]		[[Category:Mathematik]]

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	~~<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>~~		'''Primzahlen''' sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden.
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	Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[~~Reine Stimmungen~~\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[~~Gleichstufige Tonsysteme~~\|gleichstufigen Tonsystemen]].		Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine_Stimmungen\|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige_Tonsysteme\|gleichstufigen Tonsystemen]].

	=Primzahlen und reine Stimmungen=		=Primzahlen und reine Stimmungen=
	[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]		[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

	=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=		=Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme=
	In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:		In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:
	* Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
	* Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten\|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
	* Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]].

	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.		<ul><li>Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo\|12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.</li><li>Es gibt keine [http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.</li><li>Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre_Temperaturen\|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara\|Pajara]].</li></ul>

			Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo\|19edo]] ein Kandidat.

	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[~~Bernhard Stopper~~\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard_Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt\|27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo\|17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

	All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.		All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer ''komplett'' gleichförmigen und einer nur ''beinahe'' gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

	==Verweise==		==Verweise==
	* [[Primfaktorzerlegung]]		<ul><li>[[Primfaktorzerlegung\|Primfaktorzerlegung]]</li><li>[[Intervallraum\|Intervallraum]]</li><li>English: [[:en:prime_numbers xenharmonic/prime numbers]]</li><li>[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl Primzahl – Wikipedia]</li></ul> [[Category:Begriff]]
	* [[Intervallraum]]		[[Category:Mathematik]]
	* English: [[xenharmonic/prime numbers]]
	* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl\|Primzahl – Wikipedia]]</~~pre~~></~~div>~~
	~~<h4>Original HTML content:</h4~~>
	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primzahlen</title></head><body><strong>Primzahlen</strong> sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> dargestellt werden.<br />
	~~<br />~~
	Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen">reinen Stimmungen</a> und, auf ziemlich andere Weise, bei <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufigen Tonsystemen</a>.<br />
	~~<br />~~
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1>
	[~~Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum~~ ]~~<br />~~
	~~In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle~~: ~~2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br />~~
	~~<br />~~
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 -->Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme</h1>
	In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:<br />
	<ul><li>Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a>, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.</li><li>Es gibt keine <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow">Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten</a>, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.</li><li>Ein Prim-EDO kann keine <a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen">reguläre Temperatur</a> unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. <a class="wiki_link" href="/Pajara">Pajara</a>.</li></ul><br />
	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa <a class="wiki_link" href="/19edo">19edo</a> ein Kandidat.<br />
	~~<br />~~
	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die <a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper">Stopper-Stimmung</a>, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa <a class="wiki_link" href="/27edt">27edt</a>, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.<br />
	~~<br />~~
	All diese Dinge sind übrigens nur bei &quot;tiefen&quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer <em>komplett</em> gleichförmigen und einer nur <em>beinahe</em> gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.<br />
	~~<br />~~
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 -->Verweise</h2>
	<ul><li><a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a></li><li><a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a></li><li>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers">xenharmonic/prime numbers</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow">Primzahl – Wikipedia</a></li></ul></body></html></pre></div>

Wikispaces>hstraub: Imported revision 436909698 - Original comment:

2013-06-07T07:30:48Z

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2013-06-07T07:29:50Z

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	: The original revision id was <tt>~~436909488~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436909574</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt></tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
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	=Primzahlen und reine Stimmungen=		=Primzahlen und reine Stimmungen=
	[Todo]		[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]
	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

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	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1>
	[Todo]<br />		[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]<br />
	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br />		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br />
	<br />		<br />

Wikispaces>hstraub: Imported revision 436909488 - Original comment:

2013-06-07T07:29:15Z

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	: The original revision id was <tt>~~436907224~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436909488</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt></tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
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	=Primzahlen und reine Stimmungen=		=Primzahlen und reine Stimmungen=
	~~XXX~~		[Todo]
	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

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	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1>
	~~XXX~~<br />		[Todo]<br />
	In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br />		In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br />
	<br />		<br />

Wikispaces>hstraub: Imported revision 436907224 - Original comment:

2013-06-07T07:05:33Z

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	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

	All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann ~~völig~~ unhörbar werden.		All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

	==Verweise==		==Verweise==
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	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die <a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper">Stopper-Stimmung</a>, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa <a class="wiki_link" href="/27edt">27edt</a>, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.<br />		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die <a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper">Stopper-Stimmung</a>, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie das verbreitete 12edo, jedoch in einem Primsystem, während etwa <a class="wiki_link" href="/27edt">27edt</a>, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.<br />
	<br />		<br />
	All diese Dinge sind übrigens nur bei &quot;tiefen&quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer <em>komplett</em> gleichförmigen und einer nur <em>beinahe</em> gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann ~~völig~~ unhörbar werden.<br />		All diese Dinge sind übrigens nur bei &quot;tiefen&quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer <em>komplett</em> gleichförmigen und einer nur <em>beinahe</em> gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.<br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 -->Verweise</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 -->Verweise</h2>
	<ul><li><a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a></li><li><a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a></li><li>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers">xenharmonic/prime numbers</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow">Primzahl – Wikipedia</a></li></ul></body></html></pre></div>		<ul><li><a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a></li><li><a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a></li><li>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers">xenharmonic/prime numbers</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow">Primzahl – Wikipedia</a></li></ul></body></html></pre></div>

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	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.		Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat.

	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie ~~das~~ verbreitete ~~12edo~~, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die [[Bernhard Stopper\|Stopper-Stimmung]], bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa [[27edt]], bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie [[17edo]] ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

	All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.		All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer //komplett// gleichförmigen und einer nur //beinahe// gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.
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	Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa <a class="wiki_link" href="/19edo">19edo</a> ein Kandidat.<br />		Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa <a class="wiki_link" href="/19edo">19edo</a> ein Kandidat.<br />
	<br />		<br />
	Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die <a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper">Stopper-Stimmung</a>, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie ~~das~~ verbreitete ~~12edo~~, jedoch in einem Primsystem, während etwa <a class="wiki_link" href="/27edt">27edt</a>, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.<br />		Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die <a class="wiki_link" href="/Bernhard%20Stopper">Stopper-Stimmung</a>, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa <a class="wiki_link" href="/27edt">27edt</a>, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.<br />
	<br />		<br />
	All diese Dinge sind übrigens nur bei &quot;tiefen&quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer <em>komplett</em> gleichförmigen und einer nur <em>beinahe</em> gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.<br />		All diese Dinge sind übrigens nur bei &quot;tiefen&quot; Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer <em>komplett</em> gleichförmigen und einer nur <em>beinahe</em> gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.<br />

Primzahl - Versionsgeschichte

Xenwolf: +Link, +TOC, Kat

Xenwolf: Xenwolf verschob die Seite Primzahlen nach Primzahl: Singularform, um das Verlinken zu erleichtern

Inthar: "n-EDO"-Schreibung

Xenwolf: überarbeitet: Links vereinfacht, Interwiki-Link(s) unten, darüber die Kategorien

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