Primfaktorzerlegung - Versionsgeschichte

Hstraub: Link zu gebrochenzahligen Intervallvektoren

2020-12-24T22:57:31Z

Link zu gebrochenzahligen Intervallvektoren

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	<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math>		<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math>

			Man kann auch noch weiter verallgemeinern und auch als Exponenten Brüche zulassen. Siehe [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]].

	== Notations- und Rechenhilfe ==		== Notations- und Rechenhilfe ==
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	== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==		== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==
	Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[~~Cent\|~~Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.		Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

	Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:		Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

Xenwolf: aufgeräumt, Listensyntax (plus etwas Luft um die Überschriften, hoffe das ist okay so)

2018-10-02T18:34:42Z

aufgeräumt, Listensyntax (plus etwas Luft um die Überschriften, hoffe das ist okay so)

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2018, 18:34 Uhr
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	Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.		Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

	==Grundlage==		== Grundlage ==
	Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).		Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).

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	<math>256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</math>		<math>256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</math>

	==Verallgemeinerung==		== Verallgemeinerung ==
	Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.		Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

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	<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math>		<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math>

	==Notations- und Rechenhilfe==		== Notations- und Rechenhilfe ==
	Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).		Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

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	\|}		\|}

	=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents=		== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==
	Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent\|Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.		Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent\|Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

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	Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst "Bra").		Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst "Bra").

	==Verweise==		== Verweise ==
	~~<ul><li>~~[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]~~</li><li>~~[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com~~</li><li>~~[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com~~</li></ul>~~ [[Category:Mathematik]]		* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]
			* [http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com
			* [http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com

			[[Category:Mathematik]]
	[[Category:Technik]]		[[Category:Technik]]
	[[Category:Theorie]]		[[Category:Theorie]]

Xenwolf: per Vorlage:Monzo vereinfacht

2018-10-02T18:32:03Z

per Vorlage:Monzo vereinfacht

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	Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).		Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

	Die '''[[Monzo~~\|Monzo~~]]~~-Schreibweise~~''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):		Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
	! \| Name des Intervalls		! Name des Intervalls
	! \| Bruch		! Bruch
	! \| Monzo		! Monzo
	\|-		\|-
	\| \| Reine Quinte		\| Reine Quinte
	\| \| 3/2		\| 3/2
	\| \| \|-1 1~~>~~		\| {{Monzo\| -1 1 }}
	\|-		\|-
	\| \| Große Terz		\| Große Terz
	\| \| 5/4		\| 5/4
	\| \| \|-2 0 1~~>~~		\| {{Monzo\| -2 0 1 }}
	\|-		\|-
	\| \| Große Sexte		\| Große Sexte
	\| \| 5/3		\| 5/3
	\| \| \|0 -1 1~~>~~		\| {{Monzo\| 0 -1 1 }}
	\|-		\|-
	\| \| Syntonisches Komma		\| [[Syntonisches Komma]]
	\| \| 81/80		\| 81/80
	\| \| \|-4 4 -1~~>~~		\| {{Monzo\| -4 4 -1 }}
	\|-		\|-
	\| \| Pythagoreisches Komma		\| [[Pythagoreisches Komma]]
	\| \| 531441/524288		\| 531441/524288
	\| \| \|-19 12~~>~~		\| {{Monzo\| -19 12 }}
	\|-		\|-
	\| \| Prime		\| Prime
	\| \| 1		\| 1
	\| \| \|0~~>~~ oder \|~~>~~		\| {{Monzo\| 0 }} oder {{Monzo\|}}
	\|}		\|}

Wikispaces>FREEZE am 17. Juli 2018 um 00:00 Uhr

2018-07-17T00:00:00Z

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Wikispaces>xenwolf: Imported revision 440396284 - Original comment:

2013-07-03T17:03:45Z

**Imported revision 440396284 - Original comment: **

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	<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>		<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
	This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>		This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
	: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-~~07 05~~:40:07 UTC</tt>.<br>		: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-07-03 17:03:45 UTC</tt>.<br>
	: The original revision id was <tt>~~436899282~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>440396284</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt>~~Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden~~</tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
	The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>		The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
	<h4>Original Wikitext content:</h4>		<h4>Original Wikitext content:</h4>
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	==Verallgemeinerung==		==Verallgemeinerung==
	Bis auf das Vorzeichen ~~ist~~ das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.		Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

	Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten		Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
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	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
	Bis auf das Vorzeichen ~~ist~~ das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br />		Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br />
	<br />		<br />
	Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br />		Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br />

Wikispaces>xenwolf: Imported revision 436899282 - Original comment: Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden

2013-06-07T05:40:07Z

**Imported revision 436899282 - Original comment: Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden**

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2013, 05:40 Uhr
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	<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>		<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
	This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>		This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
	: This revision was by author [[User:~~hstraub~~\|~~hstraub~~]] and made on <tt>2013-06-07 03:49:54 UTC</tt>.<br>		: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-07 05:40:07 UTC</tt>.<br>
	: The original revision id was <tt>~~436890332~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436899282</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt></tt><br>		: The revision comment was: <tt>Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden</tt><br>
	The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>		The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
	<h4>Original Wikitext content:</h4>		<h4>Original Wikitext content:</h4>
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	Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.		Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

	Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ~~ergibt~~ das ~~beim~~ obigen Beispiel:		Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:
	[[math]]		[[math]]
	log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = ~~<~~log2(2), log2(5) \| \| -3, 2~~>~~		log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) \| \| -3, 2\rangle
	[[math]]		[[math]]

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	Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>s auf eine besondere, elegante Weise.<br />		Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>s auf eine besondere, elegante Weise.<br />
	<br />		<br />
	Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ~~ergibt~~ das ~~beim~~ obigen Beispiel:<br />		Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
	log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = ~~&lt;~~log2(2), log2(5) \| \| -3, 2~~&gt;~~&lt;br/&gt;[[math]]		log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) \| \| -3, 2\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
	--><script type="math/tex">log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = ~~<~~log2(2), log2(5) \| \| -3, 2~~>~~</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />		--><script type="math/tex">log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) \| \| -3, 2\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
	<br />		<br />
	Dies ist <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">Bra-Ket</a>-Schreibweise. (Der Vektor &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst &quot;Bra&quot;).<br />		Dies ist <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">Bra-Ket</a>-Schreibweise. (Der Vektor &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst &quot;Bra&quot;).<br />

Wikispaces>hstraub: Imported revision 436890332 - Original comment:

2013-06-07T03:49:54Z

**Imported revision 436890332 - Original comment: **

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2013, 03:49 Uhr
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	<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>		<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
	This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>		This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
	: This revision was by author [[User:~~xenwolf~~\|~~xenwolf~~]] and made on <tt>2013-06-07 02:20:34 UTC</tt>.<br>		: This revision was by author [[User:hstraub\|hstraub]] and made on <tt>2013-06-07 03:49:54 UTC</tt>.<br>
	: The original revision id was <tt>~~436883852~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436890332</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt></tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
	The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>		The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
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	[[math]]		[[math]]

	==Verallgemeinerung==		==Verallgemeinerung==
	Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.		Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

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	Die [[Monzo]]-Schreibweise verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):		Die [[Monzo]]-Schreibweise verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
	\|\|~ Name des Intervalls \|\|~ Bruch \|\|~ Monzo \|\|		\|\|~ Name des Intervalls \|\|~ Bruch \|\|~ Monzo \|\|
	\|\| Reine Quinte \|\| 3/2 \|\| \|-1 1> \|\|		\|\| Reine Quinte \|\| 3/2 \|\| \|-1 1> \|\|
	\|\| Große Terz \|\| 5/4 \|\| \|-2 0 1> \|\|		\|\| Große Terz \|\| 5/4 \|\| \|-2 0 1> \|\|
	\|\| Große Sexte \|\| 5/3 \|\| \|0 -1 1> \|\|		\|\| Große Sexte \|\| 5/3 \|\| \|0 -1 1> \|\|
	\|\| Syntonisches Komma \|\| 81/80 \|\| \|-4 4 -1> \|\|		\|\| Syntonisches Komma \|\| 81/80 \|\| \|-4 4 -1> \|\|
	\|\| Pythagoreisches Komma \|\| 531441/524288 \|\| \|-19 12> \|\|		\|\| Pythagoreisches Komma \|\| 531441/524288 \|\| \|-19 12> \|\|
	\|\| Prime \|\| 1 \|\| \|0> oder \|> \|\|		\|\| Prime \|\| 1 \|\| \|0> oder \|> \|\|

			=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents=
			Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.

			Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel:
			[[math]]
			log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = <log2(2), log2(5) \| \| -3, 2>
			[[math]]

			Dies ist [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html\|Bra-Ket]]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst "Bra").


	==Verweise==		==Verweise==
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	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />		<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Grundlage</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2>
	Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br />		Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br />
	<br />		<br />
Zeile 91:		Zeile 102:
	--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />		--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Verallgemeinerung</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
	Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br />		Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br />
	<br />		<br />
	Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br />		Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br />
Zeile 106:		Zeile 117:
	--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />		--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
	Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />		Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
	<br />		<br />
Zeile 172:		Zeile 183:

	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h2&gt; --><h2 id="~~toc3~~"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Verweise</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Umrechnung von Intervallvektoren in Cents</h1>
			Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>s auf eine besondere, elegante Weise.<br />
			<br />
			Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel:<br />
			<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
			[[math]]&lt;br/&gt;
			log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = &lt;log2(2), log2(5) \| \| -3, 2&gt;&lt;br/&gt;[[math]]
			--><script type="math/tex">log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = <log2(2), log2(5) \| \| -3, 2></script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
			<br />
			Dies ist <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">Bra-Ket</a>-Schreibweise. (Der Vektor &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...\| heisst &quot;Bra&quot;).<br />
			<br />
			<br />
			<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc4"><a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 -->Verweise</h2>
	<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>		<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>

Wikispaces>xenwolf: Imported revision 436883852 - Original comment:

2013-06-07T02:20:34Z

**Imported revision 436883852 - Original comment: **

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	<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>		<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
	This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>		This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
	: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-~~06 11~~:07:27 UTC</tt>.<br>		: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-07 02:20:34 UTC</tt>.<br>
	: The original revision id was <tt>~~436735066~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436883852</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt>~~Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle~~</tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
	The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>		The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
	<h4>Original Wikitext content:</h4>		<h4>Original Wikitext content:</h4>
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	==Grundlage==		==Grundlage==
	Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.		Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt\|Leeres Produkt]] aufgefasst).

	[[math]]		[[math]]
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	[[math]]		[[math]]

	==Verallgemeinerung==		==Verallgemeinerung==
	Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei ~~hier~~ Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.		Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

			Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten
	[[math]]		[[math]]
	9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}		9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
	[[math]]		[[math]]

	Auch Primfaktorzerlegung von ~~rationalen Zahlen~~ ist ~~- bei geordneten~~ Faktoren ~~- eindeutig~~. ~~So wird aus obigem~~		Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
	[[math]]		[[math]]
	3^2 \cdot 2^{-3}		3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2
	~~[[math]]~~
	~~nach dem Sortieren diese Darstellung~~
	~~[[math]]~~
	2^{-3} \cdot 3^2
	[[math]]		[[math]]

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	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />		<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Grundlage</h2>
	Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />		Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
Zeile 93:		Zeile 91:
	--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />		--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Verallgemeinerung</h2>
	Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei ~~hier~~ Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.<br />		Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br />
			<br />
			Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
Zeile 100:		Zeile 100:
	--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />		--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />
	<br />		<br />
	Auch Primfaktorzerlegung von ~~rationalen Zahlen~~ ist ~~- bei geordneten~~ Faktoren ~~- eindeutig~~. ~~So wird aus obigem~~ <br />		Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
	3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]]		3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;br/&gt;[[math]]
	--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3}~~</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />~~		--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
	~~nach dem Sortieren diese Darstellung<br />~~
	~~<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:~~
	~~[[math]]&lt;br/&gt;~~
	~~2^{-3} \cdot 3^2&lt;br/&gt;[[math]]~~
	~~--><script type~~=~~"math/tex">~~2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
	Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />		Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
	<br />		<br />
Zeile 177:		Zeile 172:

	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Verweise</h2>
	<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>		<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>

Wikispaces>xenwolf: Imported revision 436735066 - Original comment: Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle

2013-06-06T11:07:27Z

**Imported revision 436735066 - Original comment: Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle**

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 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
 This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-06 11:00:21 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-06 11:07:27 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>436733438</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>436735066</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt>hie und da etwas geglättet</tt><br>
+: The revision comment was: <tt>Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle</tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
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 Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
+||~ Name des Intervalls  ||~ Bruch        ||~ Monzo      ||
-Quinte = 3/2 = |-1 1&gt;
+|| Reine Quinte          || 3/2           || |-1 1&gt;      ||
-Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;
+|| Große Terz            || 5/4           || |-2 0 1&gt;    ||
-Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;
+|| Große Sexte           || 5/3           || |0 -1 1&gt;    ||
-Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&gt;
+|| Syntonisches Komma    || 81/80         || |-4 4 -1&gt;   ||
-Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;
+|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12&gt;    ||
-Prime = 1 = |0&gt; (oder |&gt;)
+|| Prime                 || 1             || |0&gt; oder |&gt; ||
 ==Verweise==
@@ Zeile 115: / Zeile 115: @@
 &lt;br /&gt;
 Die &lt;strong&gt;&lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&gt;Monzo&lt;/a&gt;-Schreibweise&lt;/strong&gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
-Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
+&lt;table class="wiki_table"&gt;
-Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
+    &lt;tr&gt;
-Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;&lt;br /&gt;
+        &lt;th&gt;Name des Intervalls&lt;br /&gt;
-Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;&lt;br /&gt;
+&lt;/th&gt;
-Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)&lt;br /&gt;
+        &lt;th&gt;Bruch&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 &lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc3"&gt;&lt;a name="x-Verweise"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&gt;Verweise&lt;/h2&gt;
   &lt;ul&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&lt;/a&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&gt;Prime Factorization of 24512&lt;/a&gt; - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&gt;Primfaktorisierung&lt;/a&gt; - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>

Wikispaces>xenwolf: Imported revision 436733438 - Original comment: hie und da etwas geglättet

2013-06-06T11:00:21Z

**Imported revision 436733438 - Original comment: hie und da etwas geglättet**

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juni 2013, 11:00 Uhr
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	<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>		<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
	This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>		This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
	: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-06 10:41:57 UTC</tt>.<br>		: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-06 11:00:21 UTC</tt>.<br>
	: The original revision id was <tt>~~436728898~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>436733438</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt>~~\times durch \cdot ersetzt, sieht hübscher aus~~</tt><br>		: The revision comment was: <tt>hie und da etwas geglättet</tt><br>
	The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>		The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
	<h4>Original Wikitext content:</h4>		<h4>Original Wikitext content:</h4>
Zeile 33:		Zeile 33:

	==Verallgemeinerung==		==Verallgemeinerung==
	Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise ~~haben~~ Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.		Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.

	[[math]]		[[math]]
	9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}		9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
	[[math]]		[[math]]

	Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:		Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem

	~~Aus~~
	[[math]]		[[math]]
	3^2 \cdot 2^{-3}		3^2 \cdot 2^{-3}
	[[math]]		[[math]]
	~~wird~~ nach dem Sortieren ~~die~~ Darstellung		nach dem Sortieren diese Darstellung
	[[math]]		[[math]]
	2^{-3} \cdot 3^2		2^{-3} \cdot 3^2
Zeile 61:		Zeile 58:
	Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = \|-19 12>		Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = \|-19 12>
	Prime = 1 = \|0> (oder \|>)		Prime = 1 = \|0> (oder \|>)


	==Verweise==		==Verweise==
Zeile 98:		Zeile 94:
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
	Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise ~~haben~~ Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.~~<br />~~		Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.<br />
	<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
Zeile 105:		Zeile 100:
	--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />		--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />
	<br />		<br />
	Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig~~:<br />~~		Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem <br />
	~~<br />~~
	~~Aus~~<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
	3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]]		3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]]
	--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />		--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
	~~wird~~ nach dem Sortieren ~~die~~ Darstellung<br />		nach dem Sortieren diese Darstellung<br />
	<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:		<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
	[[math]]&lt;br/&gt;		[[math]]&lt;br/&gt;
Zeile 129:		Zeile 122:
	Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = \|-19 12&gt;<br />		Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = \|-19 12&gt;<br />
	Prime = 1 = \|0&gt; (oder \|&gt;)<br />		Prime = 1 = \|0&gt; (oder \|&gt;)<br />
	~~<br />~~
	<br />		<br />
	<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>		<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>
	<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>		<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div>

Primfaktorzerlegung - Versionsgeschichte

Hstraub: Link zu gebrochenzahligen Intervallvektoren

Xenwolf: aufgeräumt, Listensyntax (plus etwas Luft um die Überschriften, hoffe das ist okay so)

Xenwolf: per Vorlage:Monzo vereinfacht

Wikispaces>FREEZE am 17. Juli 2018 um 00:00 Uhr

Wikispaces>xenwolf: **Imported revision 440396284 - Original comment: **

Wikispaces>xenwolf: **Imported revision 436899282 - Original comment: Die spitzen Klammern können leicht mit Vergleichsoperatoren verwechselt werden**

Wikispaces>hstraub: **Imported revision 436890332 - Original comment: **

Wikispaces>xenwolf: **Imported revision 436883852 - Original comment: **