Kettenbruch - Versionsgeschichte

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	~~{{Wikipedia\|Kettenbruch}}~~
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch (Wikipedia)]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch (Wikipedia)]

Hstraub am 12. März 2026 um 13:24 Uhr

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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

	Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[~~12edo\|12edo~~]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[~~13edo\|13edo~~]], [[~~14edo\|14edo~~]],[[~~15edo\|15edo~~]] und [[~~16edo\|16edo~~]]) hingegen keine bessere. Die mit [[~~17edo\|17edo~~]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[~~29edo\|29edo~~]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[~~41edo\|41edo~~]] und [[~~53edo\|53edo~~]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in ~~12edo~~ die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in ~~17edo~~ 10 Schritte, die in ~~41edo~~ 24 Schritte und so fort.</span> [[Category:Mathematik]]		Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12-EDO]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13-EDO]], [[14-EDO]], [[15-EDO]] und [[16-EDO]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17-EDO]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29-EDO]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41-EDO]] und [[53-EDO]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12-EDO die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17-EDO 10 Schritte, die in 410edo 24 Schritte und so fort.</span> [[Category:Mathematik]]

Wikispaces>FREEZE am 17. Juli 2018 um 00:00 Uhr

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	~~<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>~~		[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch (Wikipedia)]
	~~This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>~~
	~~: This revision was by author [[User:xenwolf\|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-29 03:31:42 UTC</tt>.<br>~~
	~~: The original revision id was <tt>427242110</tt>.<br>~~
	~~: The revision comment was: <tt></tt><br>~~
	~~The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>~~
	~~<h4>Original Wikitext content:</h4>~~
	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch\|Kettenbruch (Wikipedia)]]

	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus ~~<~~span style="line-height: 1.5;"~~>~~der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime\|Prim]] zur [[Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.~~<~~/span~~>~~		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime\|Prim]] zur [[Oktave\|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>

	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus\|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

	Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]		Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]
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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

	Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu~~<~~span style="line-height: 1.5;"~~>~~figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.~~<~~/span~~></pre~~>~~</div>~~		Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo\|12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo\|13edo]], [[14edo\|14edo]],[[15edo\|15edo]] und [[16edo\|16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo\|17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo\|29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo\|41edo]] und [[53edo\|53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span> [[Category:Mathematik]]
	~~<h4>Original HTML content~~:~~</h4>~~
	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br />
	~~<br />~~
	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />
	~~<br />~~
	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der <a class="wiki_link" href="/Prime">Prim</a> zur <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />
	~~<br />~~
	~~Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der <a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus">Zweierlogarithmus</a> hat den Wert 0.5849625...<br />~~
	~~<br />~~
	~~Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...~~]~~<br />~~
	~~<br />~~
	~~Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br />~~
	~~<br />~~
	Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a>, <a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a>,<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a> und <a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a>) hingegen keine bessere. Die mit <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. <a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a>, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten <a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a> und <a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a>. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div>

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2013-04-29T03:31:42Z

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2013-04-28T06:41:24Z

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	: The original revision id was <tt>~~426225956~~</tt>.<br>		: The original revision id was <tt>427038224</tt>.<br>
	: The revision comment was: <tt>~~Korrektur bzgl. Semikonvergenten~~</tt><br>		: The revision comment was: <tt></tt><br>
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	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>

	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

	Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]		Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]
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	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />
	<br />		<br />
	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br />		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der <a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus">Zweierlogarithmus</a> hat den Wert 0.5849625...<br />
	<br />		<br />
	Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]<br />		Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]<br />

Wikispaces>Gedankenwelt: Imported revision 426225956 - Original comment: Korrektur bzgl. Semikonvergenten

2013-04-24T22:16:38Z

**Imported revision 426225956 - Original comment: Korrektur bzgl. Semikonvergenten**

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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

	~~Jede dieser rationalen Zahlen ist~~ gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen ~~schlechtere,~~ [[17edo]] ~~dann wieder~~ eine ~~noch~~ bessere.~~Die nächstbessere ist dann~~ [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></pre></div>		Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17edo]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29edo]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></pre></div>
	<h4>Original HTML content:</h4>		<h4>Original HTML content:</h4>
	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br />		<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br />
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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br />		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br />
	<br />		<br />
	~~Jede dieser rationalen Zahlen ist~~ gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a>, <a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a>,<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a> und <a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a>) hingegen ~~schlechtere,~~ <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> ~~dann wieder~~ eine ~~noch~~ bessere.~~Die nächstbessere ist dann~~ <a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a>, gefolgt von <a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a> und <a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a>. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div>		Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a>, <a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a>,<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a> und <a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a>) hingegen keine bessere. Die mit <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. <a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a>, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten <a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a> und <a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a>. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div>

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	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime\|Prim]] zur [[Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>

	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...
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	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />
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	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der <a class="wiki_link" href="/Prime">Prim</a> zur <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />
	<br />		<br />
	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der <a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus">Zweierlogarithmus</a> hat den Wert 0.5849625...<br />		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der <a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus">Zweierlogarithmus</a> hat den Wert 0.5849625...<br />

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	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo\|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>
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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

	Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[13edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~, ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[14edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~,~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[15edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~ und ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[16edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~) hingegen schlechtere, ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[17edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~ dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[29edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~, gefolgt von ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[41edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~ und ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~[[53edo]]~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></pre></div>		Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen schlechtere, [[17edo]] dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></pre></div>
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	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br />		<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br />
	<br />		<br />
	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />
	<br />		<br />
	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />
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	Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br />		Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br />
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	Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~>, ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~>,~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~> und ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~>) hingegen schlechtere, ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~> dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~>, gefolgt von ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~> und ~~</span><span style="line-height: 1.5;">~~<a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a~~></span><span style="line-height: 1.5;"~~>. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div>		Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a>, <a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a>,<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a> und <a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a>) hingegen schlechtere, <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann <a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a>, gefolgt von <a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a> und <a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a>. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div>

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	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 ~~der Frequenz~~) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>

	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...
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	Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />		Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br />
	<br />		<br />
	Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 ~~der Frequenz~~) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.<br />		Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br />
	<br />		<br />
	Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br />		Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br />

Kettenbruch - Versionsgeschichte

Hstraub am 12. März 2026 um 13:26 Uhr

Hstraub am 12. März 2026 um 13:24 Uhr

Inthar: "n-EDO"-Schreibung

Wikispaces>FREEZE am 17. Juli 2018 um 00:00 Uhr

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