Intervallraum - Versionsgeschichte

Hstraub am 2. August 2023 um 21:45 Uhr

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	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches ~~Tonneetz~~\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonnetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

Hstraub am 2. August 2023 um 21:45 Uhr

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	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

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	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

	[[Kategorie:Begriff]]		[[Kategorie:Begriff]]

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	~~<span style="display: block; text-align: right;">[[en:Monzos_and_Interval_Space]]</span>~~

	Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.		Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

	Intervalle in [[~~Reine_Stimmung~~\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[~~Rationale_Zahl\|~~rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).		Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[~~Primzahlen\|~~Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[~~Limit\|~~Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[~~Eulermodul\|~~Eulermodul]] bezeichnet.		Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[~~Oktave\|~~Oktave]] betrachtet. Das [[~~Eulersches_Tonneetz~~\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[~~Vogelsches_Tonnetz~~\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

			Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.

			[[Kategorie:Begriff]]
			[[Kategorie:Intervall]]
			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Theorie]]

	~~Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil~~-~~Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce\|Bohlen~~-~~Pierce]]~~-~~Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind~~ - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch,_türkisch,_persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. [[Category:Begriff]]		<!-- interwiki -->
	~~[[Category:Intervalle]]~~		[[en:Monzos and Interval Space]]
	~~[[Category:Mathematik]]~~
	[[~~Category~~:~~Theorie~~]]

Hstraub: Lam

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Lam

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	<span style="display: block; text-align: right;">~~English:~~ [[:en:Monzos_and_Interval_Space~~\|Monzos and Interval Space~~]]</span>		<span style="display: block; text-align: right;">[[en:Monzos_and_Interval_Space]]</span>

	Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.		Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Mike Battaglia: Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]) (.])“ durch „$1|$3“

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Textersetzung - „(\[\[\:(dev|es|purdal|de|en):[^[:space:]\|]*) (.*])“ durch „$1|$3“

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	<span style="display: block; text-align: right;">English: [[:en:Monzos_and_Interval_Space Monzos and Interval Space]]</span>		<span style="display: block; text-align: right;">English: [[:en:Monzos_and_Interval_Space\|Monzos and Interval Space]]</span>

	Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.		Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

Wikispaces>FREEZE am 17. Juli 2018 um 00:00 Uhr

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	<~~h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>~~		<span style="display: block; text-align: right;">English: [[:en:Monzos_and_Interval_Space Monzos and Interval Space]]</span>
	~~This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>~~
	~~: This revision was by author [[User:hstraub\|hstraub]] and made on <tt>2016-05-12 04:49:22 UTC</tt>.<br>~~
	~~: The original revision id was <tt>582888287</tt>.<br>~~
	~~: The revision comment was: <tt></tt><br>~~
	~~The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>~~
	~~<h4>Original Wikitext content:</h4>~~
	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><span style="display: block; text-align: right;"~~>~~English: [[~~xenharmonic/Monzos and Interval Space\|~~Monzos and Interval Space]]
	~~<~~/span~~>~~
	~~Als Intervallraum bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.~~

	~~Intervalle~~ in ~~[[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen~~ der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).		Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29\| Z-Modul]]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.		Intervalle in [[Reine_Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale_Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

			Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen\|Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit\|Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul\|Eulermodul]] bezeichnet.

	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[~~Eulersches Tonneetz~~\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[~~Vogelsches Tonnetz~~\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave\|Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches_Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches_Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, ~~türkisch~~, ~~persisch~~\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.~~</pre></div>~~		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce\|Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch,_türkisch,_persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. [[Category:Begriff]]
	~~<h4>Original HTML content~~:~~</h4>~~		[[Category:Intervalle]]
	~~<div style="width~~:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;">English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />		[[Category:Mathematik]]
	~~</span><br />~~		[[Category:Theorie]]
	~~Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen~~ Intervalle ~~ihren Platz haben.<br />~~
	~~<br />~~
	Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />
	~~<br />~~
	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &quot;5-<a class="wiki_link" href="/Limit">Limit</a>&quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
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	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
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	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br />
	~~<br />~~
	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</body></html></pre></div>

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			</span>
			Als Intervallraum bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.

	Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).		Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).
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	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber //nicht// als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch\|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</pre></div>

	~~==Verweise==~~
	~~English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space\|Monzos and Interval Space]]~~</pre></div>
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	<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body>Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.<br />		<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;">English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
			</span><br />
			Als <strong>Intervallraum</strong> bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.<br />
	<br />		<br />
	Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />		Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />
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	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br />		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br />
	<br />		<br />
	Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.~~<br />~~		Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der <a class="wiki_link" href="/Bohlen-Pierce">Bohlen-Pierce</a>-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber <em>nicht</em> als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von <a class="wiki_link" href="/arabisch%2C%20t%C3%BCrkisch%2C%20persisch">orientalischen</a> Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.</body></html></pre></div>
	~~<br />~~
	~~<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Verweise</h2>~~
	~~English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a>~~</body></html></pre></div>

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	Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).		Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29\| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.		Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29\| Z-Modul]]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.
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	Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />		Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />
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	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &quot;5-<a class="wiki_link" href="/Limit">Limit</a>&quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />		Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &quot;5-<a class="wiki_link" href="/Limit">Limit</a>&quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
	<br />		<br />
	Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />

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	Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).		Intervalle in [[Reine Stimmung\|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl\|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung\|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).

	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, ~~der~~ entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29\| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.		Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29\| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

	Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz\|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz\|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.
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	Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />		Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).<br />
	<br />		<br />
	Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, ~~der~~ entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />		Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, die Intervalle sind also alle &quot;5-<a class="wiki_link" href="/Limit">Limit</a>&quot;. Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
	<br />		<br />
	Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />		Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
	<br />		<br />
	Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br />		Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.<br />

Intervallraum - Versionsgeschichte

Hstraub am 2. August 2023 um 21:45 Uhr

Hstraub am 2. August 2023 um 21:45 Uhr

Xenwolf: +Link

Xenwolf: überarbeitet: Links vereinfacht, Links hinzugefügt, umkategorisiert

Hstraub: Lam

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